今有负笼重一石,行百步,五十返。今负笼重一石一十七斤,行七十六步,
术曰:以今所行步数乘๖今笼重斤数,为法。
〔图:从十四,广十二。〕
〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之ใ幂。
左行去第二行菽位,又以减第四行及右行菽位,不足减乃止;次以右行减第二行
头位,不足减乃止;次以第二行去右行头位,次以左ุ行去右行头位;余,上得六,
下得五,是为荅六当黍五;次以左行去右行荅位,余,约之ใ,上为ฦ二,下为一;
次以右行去第二行下位,以第二行去第四行下位,又以减左行下位;次,左行去
第二行下位,余,上得三,下得四,是为麦三当菽四;次以第二行减第四行下位;
次以第四行去第二行下位;余,上得四,下得七,是为麻四当麦七。是为相当之
率举矣。据麻四当麦七,即麻价率七而麦价率四;又麦三当菽四,即为麦价率四
而菽价率三;又菽五当荅三,即为ฦ菽价率三而荅价率五;又荅六当黍五,即为荅
价率五而黍价率六;而率通矣。更置第三行,以第四行减之,余有麻一斗,菽四
斗正,荅三斗负,下实四正。求其同为麻之数,以菽率三、荅率五各乘其斗数,
如麻率七而一,菽得一斗七分斗之五正,荅得二斗七分斗之ใ一负。则菽、荅化为ฦ
麻。以并之,令同名相从,异名相消เ,余得定麻七分斗之ใ四,以为法。置四为ฦ实,
而分母乘之ใ,实得二十八,而分子化为ฦ法矣以法除得七,即麻一斗之价。置麦率
四、菽率三、荅率五、黍率六,皆以麻乘之,各自为实。以麻率七为法。所得即
各为价。亦可使置本行实与物同通之,各以本率今有之,求其本率所得。并,
以为法。如此,即无正负之ใ异矣,择异同而已。又可以一术为之。置五行通率,
为麻七、麦四、菽三、荅五、黍六,以为列衰。成行麻一斗,菽四斗ç正,荅三斗
负,各以其率乘之。讫,令同名相从,异名相消เ,余为法。又置下实乘列衰,所
得各为实。此可以置约法,则不复乘列衰,各以列衰为价。如此则凡用一百二十
四算也。〕
卷九
书名:九章算术????作者:张苍
○句股以御高深广远
今有句三尺,股四尺,问为弦几何?答曰:五尺。
今有弦五尺,句三尺,问为股几何?答曰:四尺。
今有股四尺,弦五尺,问为句几何?答曰:三尺。
句股
〔短面曰句,长面曰股,相与结角曰弦。句短其股,股短其弦。将以施ๅ于诸
率,故先具此术以见其源也。〕
术曰:句、股各自乘,并,而开方除之,即弦。
〔句自乘为朱方แ,股自乘为青方。令出入相补,各从其类,因就其余不移动
也,合成弦方之幂。开方除之,即弦也。〕
又,股自乘๖,以减弦自乘。其余,开方แ除之,即句。
〔淳风等按:此术以句、股幂合成弦幂。句方แ于内,则句短于股。令股自乘,
以减弦自乘,余者即句幂也。故开方แ除之,即句也。〕
又,句自乘,以减弦自乘。其余,开方แ除之,即股。
〔句、股幂合以成弦幂,令去其一,则余在者皆可得而知之。〕
今有圆材,径二尺五寸。欲为方版,令厚七寸,问广几何?答曰:二尺四寸。
术曰:令径二尺五寸自乘๖,以七寸自乘,减之。其余,开方除之,即广。
〔此以圆径二尺五寸为弦,版厚七寸为句,所求广为股也。〕
今有木长二丈,围之三尺。葛生其下,缠木七周,上与木齐。问葛长几何?
答曰:二丈九尺。
术曰:以七周乘๖围为股,木长为句,为之求弦。弦者,葛之长。
〔据围广,求从为木长者其形葛卷裹袤。以笔管,青线宛转,有似葛之ใ缠木。
解而观之ใ,则每周之间自有相间成句股弦。则其间葛长,弦。七周乘围,并合众
句以为ฦ一句;木长而股,短;术云木长谓之股,言之倒。句与股求弦,亦无围。
弦之ใ自乘幂出上第一图。句、股幂合为弦幂,明矣。然二幂之数谓倒在于弦幂之
中ณ而已。可更相表里,居里者则ท成方幂,其居表者则成矩幂。二表里形讹而数均。
又按:此图句幂之ใ矩青,卷白表,是其幂以股弦差为广,股弦并为袤,而股幂方แ
其里。股幂之矩青,卷白表,是其幂以句弦差为广,句弦并为ฦ袤,而句幂方其里。
是故差之与并用除之ใ,短、长互相乘也。〕
今有池方แ一丈,葭生其中ณ央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭
长各几何?答曰:水深一丈二尺。葭长一丈三尺。
术曰:半池方แ自乘,
〔此以池方半之,得五尺为句;水深为股;葭长为ฦ弦。以句、弦见股,故令
句自乘๖,先见矩幂也。〕
以出水一尺自乘,减之ใ。
〔出水者,股弦差。减此差幂于矩幂则ท除之。〕
余,倍出水除之,即得水深。
〔差为ฦ矩幂之广,水深是股。令此幂得出水一尺为ฦ长,故为矩而得葭长也。〕
加出水数,得葭长。
〔淳风等按:此葭本出水一尺,既见水深,故加出水尺数而得葭长也。〕
今有立木,系索其末,委地三尺。引索却行,去本八尺而索ิ尽。问索长几何?
答曰:一丈二尺六分尺之一。
术曰:以去本自乘,
〔此以去本八尺为ฦ句,所求索者,弦也。引而索尽、开门去阃者,句及股弦
差ๆ,同一术。去本自乘者,先张矩幂。〕
令如委数而一。
〔委地者,股弦差ๆ也。以除矩幂,即是股弦并也。〕
所得,加委地数而半之,即索长。
〔子不可半者,倍其母。加差者并,则两ä长。故又半之。其减差者并,而半
之,得木长也。〕
今有垣高一丈,倚木于垣,上与垣齐。引木却行一尺,其木至地。问木长几
何?答曰:五丈五寸。
术曰:以垣高一十尺自乘,如却行尺数而一。所得,以加却行尺数而半之ใ,